Affichage des articles dont le libellé est algèbre. Afficher tous les articles
Affichage des articles dont le libellé est algèbre. Afficher tous les articles

dimanche 4 janvier 2015

DIVISION PAR ZÉRO



Je demande à un élève de TS s'il sait pourquoi on ne peut pas diviser par zéro ; sa réponse : " Ben si on a un gâteau, on ne peut pas le diviser en zéro parts ".

A / Pourquoi on ne peut pas diviser par zéro
B / Pourquoi l'exemple du gâteau n'est pas pertinent

A / Pourquoi on ne peut pas diviser par zéro :

La division est, comme l'addition, la multiplication et la soustraction, une opération (ou loi de composition interne,) dont on attend UN résultat ; pas plus, mais pas moins

La division est liée à la multiplication ; a et b étant des nombres réels ou complexes, rechercher a divisé par b, c'est rechercher un unique réel ou complexe q tel que qb [q multiplié par b, q x b] = a.

Cas de la division euclidienne ; a et b étant des nombres entiers naturels, rechercher a divisé par b (question : en a, combien de fois b), c'est rechercher un unique entier naturel q tel que
a = bq + r avec r < b.

On sait que quel que soit q, q x 0 = 0 ; 0 est dit élément absorbant pour la multiplication.

Il faut alors distinguer deux cas, b nul et b non nul, dans la recherche de q tel que

qb = a

Si b = 0, il y a à nouveau deux cas à distinguer :

1) b = 0 avec a ≠ 0

On recherche donc alors q tel que q x 0 = a, soit tel que q x 0  0 ; c'est impossible puisque q x 0 = 0 pour tout nombre q. Aucun résultat.

2) b = 0 avec a = 0, soit

q x 0 = 0

N'importe quel nombre q fait alors l'affaire puisque cette égalité q x 0 = 0 est vraie pour tout q. C'est bien trop, puisque l'on cherche UN résultat.

Dans les deux cas, l'opération posée ne fournit donc rien de satisfaisant comme résultat.


3) Le vocabulaire pédagogique utilise parfois l'expression "valeur interdite" ; je trouve cette irruption de l'interdit déplorable car elle n'encourage pas l'intelligence de la situation mathématique. Ceci indépendamment de la charge affective négative accordée à la note "0".


B / Pourquoi l'exemple du gâteau n'est pas pertinent :

Mathématiquement, on peut diviser par n'importe quel nombre réel ou complexe autre que zéro. Le gâteau, lui, ne peut pas se diviser non plus en 1, ni en aucun nombre non entier (1/2, 1/3, 3,14, etc.) ou négatif, mais seulement en un nombre de parts, nombre entier et égal ou supérieur à 2. On a là un exemple des impasses auxquelles conduit le recours au concret. (La division par 1/n, ou multiplication des gâteaux, ne fut possible qu'une fois, dans les Évangiles...)


Voir aussi :

RÈGLE DE TROIS OU RÈGLE DE SIX ?