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dimanche 20 mars 2016

RÈGLE DE TROIS OU RÈGLE DE SIX ?



   En juin 2011, notre ancien ministre de l'Éducation Luc Chatel (qui persiste à se croire un destin politique national) ne sut pas résoudre cet exercice de niveau CM2 au micro de Jean-Jacques Bourdin (bac + 0) sur la station de radio RMC :

A / 10 objets identiques coûtent 22 € ; combien coûtent 15 de ces objets ?

La plupart des commentateurs ont invoqué la trop célèbre "règle de trois" ; le quotidien parisien Le Monde , dit de référence, proposa cette solution :

" Reprenons, monsieur Chatel. Dix objets coûtent 22 euros. Combien coûtent quinze de ces objets ?

Soit x le prix de quinze objets, ce qui donne :
x = (15 × 22)/10 = 33 "

   Cette minable "solution" médiatique, absolument dogmatique, qui n'explique pas les opérations faites, met en évidence la raison de nombreux échecs en maths, dont ceux des journalistes ... : soit la perte ou la négligence du sens des opérations courantes. Celles-ci sont au nombre de trois, et non de quatre, comme on le croit trop souvent :
Addition : effectif de la réunion de deux ensembles disjoints d'objets de même nature, ou augmentation (variation) d'une quantité ; 
Multiplication : addition répétée : a + a + a + ... (n termes) = na ; 
Puissance : multiplication répétée : a*a*a*a ... (n facteurs) = a^n, a puissance n, ou a exposant n.
Soustraction et division se ramènent simplement à l'addition et à la multiplication via les équations

a + x = b et c*y = d, dont les solutions sont x = b - a, et y = d/c (pour c non nul). La soustraction est toujours possible ; la division par zéro n'est pas possible.


B / Comment bien traiter cet exercice ?

   La solution intelligente consiste à remarquer que l'on a 5 objets supplémentaires, et que 5 étant la moitié de 10, ces 5 objets identiques coûtent évidemment la moitié du prix de 10 objets. Savoir que 2 multiplié par 5, ça fait 10, et qu'inversement 10, c'est 2 fois 5 n'est pas encore, je l'espère, au delà des capacités du Français moyen (même si cela dépassait alors celles du ministre Chatel).
10 objets = 22 €5 objets = 11 €
Donc, par additivité
15 objets = 33 €
   La réponse de l'ex-ministre Luc Chatel, dont Inter Net (wikipedia) nous dit curieusement que "Il passe sa scolarité chez les jésuites" (ce qui rappelle la réponse d'un cancre à la question " Que fais-tu en classe ? " " - J'attends qu'on sorte"), la réponse de Luc Chatel, donc, 16,50 €, était non seulement fausse, mais absurde puisque pour lui 15 objets valaient moins cher que 10 !! Le ministre avait certes entrevu confusément que le nombre 11 intervenait dans l'exercice, mais il fit une opération qui n'avait aucun sens, aucune logique, (15/10)x11, au lieu de celle qui en avait, 3x11. Il chercha à appliquer bêtement une formule apprise par cœur des années auparavant, sans en connaître  la logique sous-jacente.


Dans ce genre d'exercices, il conviendrait de parler d'une règle de six plutôt que d'une règle de trois, car six nombres sont bien impliqués dans cette histoire :

10 et 22
5 et 11
15 et le nombre cherché, d'abord représenté sous x, puis 33

Ces six nombres peuvent s'installer dans un tableau de proportionnalité :
Nombre                 Prix10                           22
 5                            11
10 + 5, 15               x, 11 + 22, 33
   Ce n’est bien sûr pas la seule méthode possible. On peut ne pas passer par le nombre 5, et appliquer la méthode générale, ici détestable méthode de bourrin ..., en passant par le prix d’un seul objet, toujours dans un tableau à six nombres :
10 objets coûtent 22 €
1 objet coûte donc 2,2 € (dix fois moins, par proportionnalité)
15 objets coûtent quinze fois plus, soit 15x2,2 = 33 €
Ce qui revient à faire intervenir le coefficient de proportionnalité, soit 2,2, des nombres d'objets vers les prix ; mais dans un exercice aussi simple, on peut et on devrait faire l’économie de cette notion dont la dénomination est, de plus, archaïque et lourde ; je propose multiplicateur .

Cette deuxième méthode, générale, nécessite de plus le recours à une calculette si l'on n'est pas très bon en calcul mental, pour obtenir le résultat 15x(2,2) = 33. Mais dans tous les cas, il y a bien six nombres impliqués, donc bien mieux vaudrait de parler de "règle de six" ; notion hélas pas encore acceptée par les pédagogistes rédacteurs des programmes, ou alors de "règle des trois lignes" (et deux colonnes).

C / La mésaventure du député Luc Chatel, car il a hélas été réélu depuis ... (1ère circo. de Haute-Marne ; mais son candidat aux primaires de la droite fin 2016, Sarkozy, fut battu), illustre l’intérêt énorme qu’il y aurait à comprendre ce que l’on fait en maths, bien que la doctrine officielle reste centrée, non sur l'explication et la compréhension, mais sur la pratique et les apprentissages, s'acharnant à maintenir une terminologie désuète ; un collègue PEGC du Val d'Oise, à l'Isle-Adam, me dit un jour : « Il ne faut pas expliquer, car certains risqueraient de ne pas comprendre ; et les autres, ils s’en sortiront toujours. » Contre cet obscurantisme politico-social, je retiens la surprise et le plaisir d’un élève de 4e, en ce même collège de L'Isle-Adam (Val d'Oise) me disant, ravi :
« Je ne savais pas qu’il y avait des choses à comprendre en maths. »
Ma voisine creusoise Marinette P., qui avait plus de 80 ans et un niveau d'instruction primaire, avait su résoudre exactement, et du premier coup, l'exercice raté par Chatel.


D /  Sur un blog rédactionnel du quotidien parisien Le Monde, Big Browser, on lisait en été 2012 :

« Mais il n’y a aucune preuve qui montre que quelqu’un capable de résoudre (x2 + y2)2 = (x2 – y2)2 + (2xy)2 aura des opinions politiques ou des analyses sociales plus développées. »
L'original américain était : " But there’s no evidence that being able to prove (x² + y²)² = (x² - y²)² + (2xy)² leads to more credible political opinions or social analysis. "

Le retour à cet original est très fructueux car :

1) le pléonasme "preuve qui montre" ne s'y trouve pas ;

2) une identité remarquable (ici vraie pour tout couple de nombres réels (x, y), n'est pas une équation, donc elle ne se résout pas, elle se démontre, comme l'écrit Andrew Hacker ;

3) enfin, le New York Times dispose d'une typographie lui permettant de faire la différence entre le 2 de x² et celui de 2x (x +x), ce qui n'était pas encore le cas en 2012 du quotidien français dit "de référence", Le Monde.